삼각함수 실생활 탐구주제: 소리의 합성과 맥놀이

기타 줄을 튕기면 '웅~' 하고 규칙적으로 커졌다 작아지는 맥놀이가 들립니다. 이 현상도, 여러 음이 어울려 화음이 되는 것도, 모두 사인함수의 덧셈으로 설명됩니다.

수학 원리로 들여다보기

진동수 f인 순음은 y = sin(2πf·t)로 표현됩니다. 표준음 '라'는 440Hz니 y = sin(2π·440·t)이죠. 두 음을 동시에 내면 파형은 두 사인함수의 합입니다. 삼각함수 합공식을 쓰면

sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t) = 2·sin(2π·(f₁+f₂)/2·t)·cos(2π·(f₁−f₂)/2·t)

여기서 앞의 sin은 평균 진동수의 소리, 뒤의 cos는 천천히 진폭을 흔드는 '포장지' 역할입니다. 440Hz와 442Hz를 함께 내면

진폭 변화 주기 = |442 − 440| = 2Hz → 1초에 2번 소리가 커졌다 작아짐

이 규칙적 울렁임이 바로 맥놀이입니다. 조율사가 맥놀이가 사라질 때까지 줄을 조이는 것도 이 원리죠. 복잡한 소리를 여러 사인함수의 합으로 분해하는 것이 푸리에 분석입니다.

음파를 사인함수로 표현하고 두 음의 합을 삼각함수 합공식으로 전개하여 맥놀이 주파수가 두 진동수의 차와 같음을 유도하였으며, 이를 실제 조율 원리 및 푸리에 분석과 연결지어 탐구함.

이 단원, 아는데 자꾸 틀리나요? 오답 유형부터 진단해요.

키워드 음파사인함수푸리에