이차함수 실생활 탐구주제: 농구 슛 궤적과 최적 발사각

깨끗하게 들어가는 자유투는 완만한 무지개 궤적을 그립니다. 이 궤적은 정확히 이차함수 포물선이라, 몇 개의 좌표만 있으면 공의 최고 높이와 착지점을 계산할 수 있습니다.

수학 원리로 들여다보기

슛 영상에서 좌표를 뽑아 궤적을 y=−x²+4x+2 (손 높이 2m)로 맞췄다고 합시다. 꼭짓점의 x좌표는

x = −b/(2a) = −4 / (2×(−1)) = 2
최고 높이 y = −(2)² + 4×2 + 2 = −4 + 8 + 2 = 6m

공이 바닥(y=0)에 닿는 지점은 −x²+4x+2=0, 곧 x²−4x−2=0을 풀어

x = (4 ± √(16+8))/2 = 2 ± √6 ≈ 4.45m (앞으로 나간 거리)

발사각을 키우면 포물선이 더 높고 가팔라지고, 초기 속도를 키우면 더 멀리 뻗습니다. 골대 높이 3.05m와 거리 조건을 만족하는 '들어가는 궤적'의 범위를 계수 a, b, c로 좁혀 가면, 왜 프로 선수들이 비슷한 발사각을 쓰는지 수학으로 설명됩니다.

농구 슛 영상의 좌표로 이차함수 궤적을 결정하고 꼭짓점 공식과 근의 공식으로 최고 높이·도달 지점을 계산하였으며, 발사각과 계수의 관계를 분석해 성공 궤적의 조건을 규명하는 탐구를 수행함.

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