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경우의 수 탐구주제: 비밀번호는 왜 길수록 안전한가

'비밀번호는 길고 복잡하게'라는 말, 왜일까요? 자릿수 한 칸을 늘리면 가능한 조합이 몇 배로 폭발합니다. 이 '조합 폭발'을 곱의 법칙으로 계산하면 그 이유가 숫자로 보입니다.

수학 원리로 들여다보기

각 자리에 쓸 수 있는 문자가 k종류이고 길이가 n이면, 가능한 비밀번호 수는 곱의 법칙으로 kⁿ입니다. 숫자만 쓴 4자리는

대소문자와 숫자(62종류)로 8자리를 쓰면

초당 10억(10⁹)번 대입하는 공격자라도 62⁸ ÷ 10⁹ ≈ 218,000초, 곧 약 2.5일이 걸립니다. 여기서 자리를 하나만 더 늘려 9자리로 하면 경우의 수가 62배가 되어 소요 시간도 62배(약 5개월)로 뜁니다. 자릿수는 지수, 문자 종류는 밑이라, 자릿수를 늘리는 편이 안전성을 훨씬 크게 키운다는 사실을 경우의 수로 논증할 수 있습니다.

탐구 이렇게 해 보세요 (3단계)

1. 문자 종류 k와 길이 n에 따른 비밀번호 수 kⁿ을 곱의 법칙으로 정리한다.
2. 초당 시도 횟수를 가정해 무차별 대입에 걸리는 시간을 자릿수별로 계산한다.
3. 자릿수 한 칸과 문자 종류 확대의 효과를 비교해 어느 쪽이 더 안전한지 논증한다.

생기부 세특, 이렇게 써 볼까요

비밀번호 경우의 수를 곱의 법칙 kⁿ으로 계산하고 무차별 대입 소요 시간을 자릿수별로 추정하여, 자릿수(지수) 확대가 문자 종류(밑) 확대보다 안전성을 크게 높임을 조합 폭발의 관점에서 규명함.

© 수학 파이널 LAB — 아는 문제 안 틀리는 공부. 본 글은 학습 탐구용 예시이며, 세특 문장은 참고용입니다.