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미분 경제 탐구주제: 한계비용과 이윤 극대화

공장은 무작정 많이 만들지 않습니다. '딱 한 개 더 만들 때 추가로 드는 돈'이 팔아서 버는 돈과 같아지는 지점에서 생산을 멈춥니다. 이 '한 개 더'가 바로 미분, 한계비용입니다.

수학 원리로 들여다보기

생산량 q에 대한 총비용이 C(q)=q²+10q+100이라 하면, 한계비용은 이 비용함수의 도함수입니다.

제품 가격이 개당 50이라면, 경제학에서 이윤이 최대가 되는 조건은 '한계비용 = 가격'입니다.

이때 이윤을 검산하면 수입 50×20=1000, 비용 C(20)=400+200+100=700이므로 이윤은 300입니다. 만약 21개를 만들면 한계비용이 52로 가격 50을 넘어 마지막 한 개에서 손해가 나죠. 미분이 '어디서 멈춰야 가장 이득인가'라는 최적화 질문에 정확한 답을 줍니다.

탐구 이렇게 해 보세요 (3단계)

1. 가상의 비용함수를 세우고 이를 미분해 한계비용 함수를 구한다.
2. '한계비용=가격' 조건으로 최적 생산량을 구하고 전후 생산량의 이윤과 비교해 검산한다.
3. 고정비·가격 변동이 최적 생산량에 미치는 영향을 분석하고 손익분기점으로 확장한다.

생기부 세특, 이렇게 써 볼까요

비용함수를 미분해 한계비용을 구하고 '한계비용=가격'이라는 이윤 극대화 조건으로 최적 생산량을 도출하였으며, 전후 생산량의 이윤을 비교 검산하여 미분이 경제적 의사결정의 도구임을 정량적으로 규명함.

© 수학 파이널 LAB — 아는 문제 안 틀리는 공부. 본 글은 학습 탐구용 예시이며, 세특 문장은 참고용입니다.