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미적분Ⅱ적분법자연·의학 진로

지수함수 적분 탐구주제: 약물이 몸에 쌓이는 양의 계산

링거로 약을 넣는 동안에도 몸은 계속 약을 배출합니다. '결국 몸에 얼마나 쌓이고 노출되는가'라는 질문의 답은 지수함수를 적분하는 데 있습니다.

수학 원리로 들여다보기

투여를 멈춘 순간 혈중 농도가 C(t)=C₀·e^(−kt)로 지수적으로 배출된다면, 이후 몸이 받는 총 노출량(AUC)은 이 함수를 0부터 무한대까지 적분한 값입니다.

C₀=10 mg/L, 배출상수 k=0.2 /h라면

반감기는 T=ln2/k=0.693/0.2 ≈ 3.47시간입니다. 이 AUC가 약효·독성을 판단하는 핵심 지표죠. 투여 속도가 시간에 따라 변하면 t·e^(−kt) 같은 꼴이 나와 부분적분이, 농도가 다른 함수와 곱해지면 치환적분이 필요해집니다. 반복 투여로 넘어가면 등비급수로 정상상태 농도를 구할 수 있습니다.

탐구 이렇게 해 보세요 (3단계)

1. 지수 배출 모델 C₀e^(−kt)를 세우고 총 노출량(AUC)을 정적분으로 계산한다.
2. 투여 속도가 변하는 경우 부분적분·치환적분으로 누적량을 구하고 반감기와 연결한다.
3. 반복 투여 시 농도가 등비급수로 정상상태에 수렴함을 계산해 안전 용량을 논한다.

생기부 세특, 이렇게 써 볼까요

지수 배출 모델을 정적분해 약물 총 노출량 AUC가 C₀/k임을 유도하고 반감기와의 관계를 규명하였으며, 부분적분·치환적분과 등비급수를 활용해 반복 투여 시 정상상태 농도까지 확장 탐구함.

© 수학 파이널 LAB — 아는 문제 안 틀리는 공부. 본 글은 학습 탐구용 예시이며, 세특 문장은 참고용입니다.