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최적화 탐구주제: 택배 상자 부피 최대화와 삼차식

네모난 판지의 네 모서리를 정사각형으로 잘라 접으면 뚜껑 없는 상자가 됩니다. 많이 자르면 높이는 높지만 바닥이 좁아지고, 조금 자르면 그 반대죠. '가장 많이 담기는' 지점은 삼차식으로 찾습니다.

수학 원리로 들여다보기

가로·세로 20cm 정사각 판지에서 각 모서리를 한 변 x인 정사각형으로 잘라 접으면, 밑변은 (20−2x), 높이는 x가 되어 부피는 삼차식이 됩니다.

부피가 최대인 x는 도함수를 0으로 만드는 점입니다. 전개해 미분하면

x=10은 부피가 0이니 제외하면, x≈3.33cm에서 부피가 최대이고 그때 V ≈ 3.33×(13.33)² ≈ 592cm³입니다. 여기에 '가로+세로+높이 ≤ 규격'이라는 운송사 부등식 조건을 걸면 허용되는 x의 범위가 더 좁아집니다. 재료비 대비 부피 효율까지 따지면 실전 포장 설계가 됩니다.

탐구 이렇게 해 보세요 (3단계)

1. 판지 크기를 정하고 자른 길이 x에 대한 부피를 삼차식 V(x)로 세운다.
2. V(x)를 미분해 증감을 조사하고 부피가 최대가 되는 x와 최대 부피를 구한다.
3. 운송 규격 부등식을 걸어 가능한 x 범위를 좁히고 재료비 대비 효율로 확장한다.

생기부 세특, 이렇게 써 볼까요

판지를 접은 상자의 부피를 삼차식으로 모델링하고 도함수의 증감으로 부피 최대점을 구하였으며, 운송 규격 부등식으로 실현 가능한 범위를 제한하여 최적화 문제를 현실 조건과 결합해 해결함.

© 수학 파이널 LAB — 아는 문제 안 틀리는 공부. 본 글은 학습 탐구용 예시이며, 세특 문장은 참고용입니다.